Η χρονολόγηση άνθρακα αποκαλύπτει τις πρώτες προελεύσεις του μηδενικού συμβόλου: Όσα δεν ξέρουμε για το μηδέν και τον Βραχμαγκούπτα

Η χρονολόγηση άνθρακα δείχνει ότι ένα αρχαίο ινδικό χειρόγραφο έχει την παλιότερη καταγεγραμμένη προέλευση του μηδενικού συμβόλου.

Το μηδέν μόλις μεγάλωσε κατά τουλάχιστον 500 χρόνια.

Το μηδέν μόλις «χρεώθηκε» 500 χρόνια παρουσίας βάσει μιας νέας μελέτης που πραγματοποίησαν επιστήμονες πάνω στο ινδικό χειρόγραφο «Bakhshali», ένα μαθηματικό έγγραφο γραμμένο σε φλοιό σημύδας, που βρισκόταν στην Οξφόρδη.

Από τη μελέτη που βασίστηκε στη χρονολόγηση άνθρακα διαπιστώθηκε ότι το απαραίτητο στα Μαθηματικά αυτό ψηφίο χρονολογείται ήδη από τον 3ο ή 4ο αιώνα - περίπου πέντε αιώνες νωρίτερα από ό, τι πίστευαν μέχρι τώρα οι μελετητές.

Το χειρόγραφο βρέθηκε από έναν αγρότη σε ένα χωριό που ονομάζεται Bakhshali (κοντά στο Mardan στο σημερινό Πακιστάν), το 1881, πριν αποκτηθεί από τον Ινδολόγο Rudolf Hoernle, ο οποίος τον παρουσίασε στις βιβλιοθήκες «Bodleian» το 1902.

Διαβάζοντας από δεξιά προς τα αριστερά, το μηδέν είναι είναι ο έκτος χαρακτήρας (η μικρή κουκίδα) στο κάτω δεξιό μέρος του χειρογράφου (στο κόκκινο τετράγωνο).

Σύμφωνα με έκθεση των «Bodleian Libraries» (είναι η βασική βιβλιοθήκη για έρευνα στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, μια από τις παλαιότερες στην Ευρώπη και δεύτερη σε μέγεθος στο Ηνωμένο Βασίλειο), τα ευρήματα, που είναι ιδιαίτερα σημαντικά για τη μελέτη της πρώιμης ιστορίας των μαθηματικών, σημαίνουν ότι το χειρόγραφο αποτελεί την παλαιότερη μέχρι τώρα απεικόνιση του δημοφιλούς μαθηματικού συμβόλου και προηγείται χρονικά μιας επιγραφής του 9ου αιώνα στον τοίχο ενός ναού στην πόλη Gwalior, στο Madhya Pradesh (κράτος στην κεντρική Ινδία), που ως σήμερα θεωρείτο ως το αρχαιότερο καταγεγραμμένο παράδειγμα του μηδενός.

Σύμφωνα με τις «Bodleian Libraries», η χρονολόγησή του χειρογράφου ήταν δύσκολη στο παρελθόν, όχι μόνο λόγω του υλικού από το οποίο είναι φτιαγμένο, αλλά και λόγω του γεγονότος πως αυτό το υλικό προέρχεται από τρεις διαφορετικές χρονικές περιόδους.

Στην έκθεση των «Bodleian Libraries», αναφέρεται ακόμη πως το σύμβολο μηδέν που χρησιμοποιούμε σήμερα εξελίχθηκε από μια κουκίδα που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Ινδία και η οποία εμφανίζεται σε ολόκληρο το χειρόγραφο του «Bakhshali».

Άποψη του κεντρικού κτιρίου της βιβλιοθήκης «Bodleian» του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Οι βιβλιοθήκες «Bodleian» είναι μια συλλογή περίπου 40 βιβλιοθηκών που εξυπηρετούν το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης στην Αγγλία , συμπεριλαμβανομένης της πιο γνωστής βιβλιοθήκης της «Bodleian», καθώς και πολλών άλλων (αλλά όχι όλων) κεντρικών βιβλιοθηκών. Μαζί, οι βιβλιοθήκες διαθέτουν 11 εκατομμύρια έντυπα, καθώς και πολλά άλλα αντικείμενα.

Η κουκκίδα αρχικά χρησιμοποιήθηκε ως «σύμβολο κράτησης θέσης» για να υποδεικνύει τάξεις μεγέθους σε ένα σύστημα αριθμών.

Κι ενώ η χρήση του μηδενός ως συμβόλου κράτησης θέσης παρατηρήθηκε σε αρκετές διαφορετικές αρχαίες κουλτούρες, όπως των αρχαίων Μάγια και των Βαβυλωνίων, το σύμβολο στο χειρόγραφο του «Bakhshali» είναι ιδιαίτερα σημαντικό για δύο λόγους:

Πρώτον, αυτή η κουκίδα εξελίχθηκε να έχει ένα κοίλο κέντρο και έγινε το σύμβολο που χρησιμοποιούμε ως μηδέν σήμερα.

Δεύτερον, μόνο στην Ινδία αυτή η κουκίδα εξελίχθηκε σε έναν αριθμό, δημιουργώντας έτσι την έννοια “μηδέν” που καταλαβαίνουμε σήμερα.

Αυτό συνέβη το 628 μ.Χ., λίγους αιώνες μετά το χειρόγραφο του «Bakhshali», όταν ο Ινδός αστρονόμος και μαθηματικός Brahmagupta έγραψε ένα κείμενο που ονομάζεται Brahmasphutasiddhanta, το οποίο είναι το πρώτο έγγραφο που συζητά το μηδέν ως αριθμό.

Σύμφωνα με τον Marcus du Sautoy, καθηγητή Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, η δημιουργία της έννοιας του μηδενός ως αριθμού, η οποία εξελίχθηκε από το σύμβολο dot point (κουκίδα) που βρέθηκε στο το χειρόγραφο του «Bakhshali», αποτελεί μια από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις στην ιστορία των Μαθηματικών.

Σύμφωνα με την ιστοσελίδα «G-PHYSICS»… η προφανής έννοια του μηδενός στα μαθηματικά είναι θεμελιώδης και το σύμβολο 0 είναι σήμερα το ίδιο οικείο όσο και τα αλλά εννέα αριθμητικά σύμβολα.

Χρειάστηκαν ωστόσο πολλοί αιώνες για να μπορέσει το 0 να λειτουργήσει κατά έναν σαφή μαθηματικό τρόπο.

Παράδειγμα πρώιμου ελληνικού συμβόλου για το μηδέν (κάτω δεξιά γωνία) από πάπυρο του 2ου αιώνα. Στην ελληνική γλώσσα, η λέξη «μηδέν» προήλθε από τη φράση «μηδέ ἕν», δηλαδή ούτε ένα. Ευρήματα δείχνουν ότι οι αρχαίοι Έλληνες φαίνεται να ήταν αβέβαιοι για το αν η υπόσταση του μηδενός είναι αριθμός. Για το συγκεκριμένο θέμα αναρωτιούνταν: «Πώς μπορεί το τίποτε να είναι κάτι;», οδηγώντας σε φιλοσοφικές και θρησκευτικές διαφωνίες πάνω στη φύση και την ύπαρξη του μηδενός και του κενού, μέχρι το Μεσαίωνα. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη εξαρτώνταν σε μεγάλο βαθμό στην αβεβαιότητα της ερμηνείας του μηδέν.

Οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι εργάστηκαν χωρίς να χρησιμοποιούν κάποιο συγκεκριμένο σύμβολο για το μηδέν.

Για παράδειγμα οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα κενό διάστημα για κάθε ψηφίο μηδέν, π.χ. το 304 έγραφαν 3 4 ή αργότερα χρησιμοποιούσαν σφήνες και άγκιστρα για να αποδώσουν την έννοια του μηδενός.

Ενώ οι μαθηματικοί άρχισαν αν σκέφτονται την έννοια του μηδενός κατά το 3.000 π.Χ. (και να την απορρίπτουν), δεν ήταν πριν το 200-300 π.Χ. που οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο που εξελίχτηκε σε αυτό που ξέρουμε σήμερα σαν «μηδέν». Οι Βαβυλώνιοι άλλαξαν τη μορφή του συμβόλου αρκετές φορές, από δύο παράλληλες γραμμές μέχρι με διάφορα σχέδια της ανωτέρω εικόνας. 

Φυσικά τα παραπάνω σύμβολα ποτέ δεν αποτέλεσαν αριθμητικό στοιχειό διότι ποτέ δεν χρησιμοποιήθηκαν μόνα τους, παρά μόνο συμπληρωματικά.

Η σημερινή μορφή του μηδενός ξεκίνησε από την Ινδία.

Κατά τον 7ο μ.Χ αιώνα, οι Ινδοί μαθηματικοί συνήθιζαν να χρησιμοποιούν μια λέξη για να συμβολίσουν την απουσία αριθμού.

Η λέξη αυτή συμβολιζόταν με μια τελεία, από την οποία προέκυψε το σημερινό σύμβολο για το μηδέν.

Παρόλο που η πρώτη αδιαμφισβήτητη χρήση αυτού του συμβόλου βρίσκεται σε μια επιγραφή σε πέτρινη πινακίδα από το 876 μ.Χ.

Ο Ινδός Βραχμαγκούπτα είχε προσπαθήσει διακόσια χρόνια νωρίτερα να ορίσει τις πράξεις με το μηδέν.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση ήταν τα εύκολα, ενώ ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν έδινε ολοφάνερα αποτέλεσμα μηδέν. 

Η διαίρεση, όπως πάντα, αποδείχτηκε προβληματική, στην αρχή τουλάχιστον.

Ο πρωτοπόρος Βραχμαγκούπτα ισχυρίστηκε λανθασμένα ότι η διαίρεση μηδέν δια μηδέν κάνει μηδέν, ενώ άφησε κλάσματα όπως το 0/2 ή το 3/0 σε αυτή τη μορφή, χωρίς να μπορεί να προσδιορίσει το αποτέλεσμα, παρόλο που υπαινίχθηκε ότι το πρώτο από τα δυο κλάσματα θα μπορούσε να κάνει και μηδέν.

Μια σύγχρονη ένδειξη της καθοριστικής σημασίας του μηδενός είναι μαθηματικά του απειροστού και του απείρου που αναδέχθηκαν με το έργο του Γερμανού μαθηματικού Georg Cantor.

Οι κύριος όγκος των παραπάνω πληροφοριών από την ιστοσελίδα «G-PHYSICS» αντλήθηκε από: «Το βιβλίο των επιστημών», του Peter Tallack.

Βραχμαγκούπτα

Ο Βραχμαγκούπτα, ( 598 –668 μ.Χ.) ήταν Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος ο οποίος έγραψε δύο σημαντικά έργα των Μαθηματικών και της Αστρονομίας.

Το πρώτο ήταν η Βραχμασφουτασιντάντα (Brāhmasphuṭasiddhānta, εκτεταμένη μελέτη του Βράχμα) μια θεωρητική μελέτη του 628 η οποία περιέχει τους πρώτους κανόνες για υπολογισμούς με το μηδέν, ενώ ο Αραμπιάτα μερικές δεκαετίες νωρίτερα επίσης στην Ινδία είχε περιγράψει την έννοια του μηδέν.

Το δεύτερο κείμενο του είναι η Καντακαντιάκα (Khaṇḍakhādyaka) το 665, ένα πιο πρακτικό κείμενο σχετικά με μαθηματικούς υπολογισμούς.

Θεωρείται πως ο Βραχμαγκούπτα καταγόταν από το Μπινμάλ της επαρχίας Ρατζαστάν στην Ινδία.

Ο Βραχμαγκούπτα ήταν ο πρώτος που διατύπωσε σαφείς κανόνες για υπολογισμούς με χρήση του μηδενός.

Τα κείμενα του ήταν γραμμένα σε ελλειπτικό στίχο, όπως ήταν και η καθιερωμένη συνήθεια στα Ινδικά μαθηματικά, με συνέπεια να αναδύεται και μια ποιητική χροιά κατά την ανάγνωσή τους.

Καθώς δεν έχουν διατυπωθεί μαθηματικές αποδείξεις για τα ευρήματα του, δεν είναι γνωστό πως ο Βραχμαγκούπτα έφτασε σε αυτά.

Πιθανολογείτε ότι γράφτηκε σε στίχο για ευκολότερη απομνημόνευση και ότι ίσως ο Βραχμαγκούπτα έδινε τις αποδείξεις στους μαθητές του, αν και είναι εξίσου πιθανό να γινόταν αποδεκτό κάποιο θεώρημα και τύπος, μετά την επαλήθευσή τους από πλήθος παραδειγμάτων.

Ζωή και έργο

Στους στίχους 7 και 8 του κεφαλαίου 24/ΣʹΔʹ της Βραχμασφουτασιντάντα, αναφέρεται πως ο Βραχμαγκούπτα σύνθεσε το κείμενο αυτό στην ηλικία των τριάντα ετών στην πόλη Σάκα κατά το ινδικό έτος 550 (628 μ.Χ.) κατά την βασιλεία του Βιαγραμούκα, και από εκεί εξάγεται ως έτος γέννησης του το 598.

Οι σχολιαστές του έργου του τον αναφέρουν ως τον μεγάλο σοφό του Μπινμάλ, μια πόλη στην πολιτεία του Ρατζαστάν της βορειοδυτικής Ινδίας.

Κατά τους αρχαίους χρόνους το Μπινμάλ ήταν η έδρα των Γκουρτζάρ, ο πατέρας του ανήκε στους Τζισνουγκούπτα, και έζησε την περισσότερη ζωή του στο Μπινμάλ κατά την βασιλεία του Βιαγραμούκα.

Ως συνέπεια, ο Βραχμαγκούπτα συχνά αναφέρεται ως ο Μπιλαμαλατσάρια, δηλαδή ο δάσκαλος από το Μπινμάλ (Μπιλάλα κατά τους αρχαίους χρόνους).

Ήταν ο επικεφαλής του αστεροσκοπείου στην Ουτζαΐν, και κατά την θητεία του αυτή έγραψε τις δύο πραγματείες του, την Βραχμασφουτασιντάντα και την Καντακαντιάκα, που καλύπτουν και οι δύο μαθηματικά και αστρονομία.

Η Βραχμασφουτασιντάντα είναι το πιο διάσημο έργο του και επηρέασε σημαντικά τους άραβες αστρονόμους και μαθηματικούς.

Αριαμπάτα

Ο Αριαμπάτα, (12 Δεκεμβρίου 476 – 18 Δεκεμβρίου 550 μ.Χ.) ήταν ο πρώτος μίας σειράς μεγάλων μαθηματικών-αστρονόμων της κλασικής εποχής των ινδικών μαθηματικών και της ινδικής αστρονομίας.

Το έργο του περιλαμβάνει και κεφάλαια με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο.

Γεννήθηκε το 476 μ.Χ., σύμφωνα με την πληροφορία που μας δίνει ο ίδιος, ότι ήταν 23 ετών κατά το έτος 3.600 της περιόδου Kaliyuga, που αντιστοιχεί στη χρονολογία 499 μ.Χ..

Έζησε στην πόλη Kusumapura (τη σημερινή Patua), την πρωτεύουσα της αρχαιότερης ινδικής μοναρχίας.

Το Αριαμπατίγια (Aryabhatiya), που είναι το όνομα του έργου του, είναι το πρώτο αξιόλογο έργο μαθηματικών.

Πιστεύεται ότι είναι το παλαιότερο σωζόμενο έργο εκείνης της περιόδου και περιέχει το σύνολο της έως τότε αστρονομικής και μαθηματικής γνώσης της ινδικής υποηπείρου.